Has observado un mapa?

Sin duda, los mapas nos ayudan a ubicarnos en el espacio. 

Para poder ubicar puntos en un mapa es importante tener líneas de referencia. 

Las líneas rectas que se ven en los mapas son de dos tipos: horizontales y verticales. Al unir muchas de estas líneas se forma una cuadrícula.

Para facilitar la ubicación de un lugar en el mapa, se elige una recta horizontal y una recta vertical, se las divide en partes iguales y se las numera. Estas líneas rectas numeradas se llaman rectas numéricas.

Al conjunto de dos rectas numéricas, una horizontal y otra vertical, que se cortan en un punto, se le llama plano cartesiano.

A la recta numérica horizontal se la llama eje de las "X" o de las abscisas.

A la recta numérica vertical se la llama eje de las "Y" o de las ordenadas.

El punto donde se cortan las dos rectas numéricas se lo llama origen o punto cero.

Para mencionar los cuadrantes se numera cada uno de los cuatro espacios haciendo un giro antihorario es decir en sentido contrario a la dirección que siguen las manecillas del reloj.

Veamos cómo ubicar puntos en el plano cartesiano.

Como el plano cartesiano tiene dos ejes, para ubicar un punto localizamos dos números o componentes:

El primer número corresponde a la abscisa (eje de las X); y el segundo número corresponde a la ordenada (eje de las Y).

Si cambiamos el orden de los números o componentes, ya no nos referimos al mismo punto en el plano cartesiano.

Cada punto del plano cartesiano tiene una única forma de escritura y se llama par ordenado.

El punto P(2,3) es un par ordenado.

El punto Q(3,2) es otro par ordenado.

Por lo tanto el punto P no es igual al punto Q.

Si ubicamos dos puntos en el plano cartesiano y los unimos, tenemos graficada una recta.

Ubiquemos los puntos R(6,4) y S(10,8) en el plano cartesiano.

Una vez que hemos ubicado pares de números naturales en el plano cartesiano, ahora ubicaremos números fraccionarios.

Dividamos cada parte entera o unidad de esta recta en mitades, es decir en dos partes.

Cada mitad representa un número en este caso: 1/2, 2/2, 3/2, 4/2, 5/2, ....

Recordemos que los números fraccionarios constan de dos partes: numerador y denominador.

El denominador expresa el número de partes en la que se ha dividido la unidad y el numerador expresa el número de partes que se toman de la unidad o unidades.

Recordemos también que los números naturales pueden expresarse como números fraccionarios, por ejemplo el número 1 puede expresarse como 2/2.

Si dividimos cada unidad de la recta numérica en tercios, es decir en tres partes, comprobamos que el número 1 lo podemos expresar en 3/3

El número natural 1 puede expresarse como número fraccionario y puede hacerse de diferentes maneras: 

1 =  2/2  =  3/3  =  4/4  =  5/5  =  6/6  = 7/7 .....

Lo mismo sucede con todos los números naturales, el 2 puede expresarse de diferentes maneras.

2 =  4/2  =  6/3  =  8/4  =  10/5  =  12/6 ...

Te has dado cuenta de la cantidad de relaciones que a diario realizas?

Relacionas por ejemplo, el número de camisas que tienes con el conjunto de pantalones.  Sabes que puedes ponerte la camisa color crema con uno de los dos pantalones, igualmente puedes usar la camisa color blanco con uno de los dos pantalones.

En este tipo de relación, cada elemento del primer conjunto se relaciona con dos elementos del segundo conjunto.

Observa esta relación:

Algunos elementos del primer conjunto se relacionan con un solo elemento del segundo conjunto, y otros elementos del primer conjunto se relacionan con dos o más elementos del segundo conjunto.

Ahora analiza el siguiente ejemplo:

Observa la relación que se establece entre los elementos de estos dos conjuntos, cada elemento del primer conjunto se relaciona con  un solo elemento del segundo conjunto.

En este ejemplo se establece la relación uno a uno.

En una relación, cuando a cada elemento del primer conjunto le corresponde solamente un elemento del segundo conjunto, tenemos una función.

Las funciones tienen distintas formas de representación, la que hemos observado hasta ahora es la forma sagital, es decir a través de diagramas de Venn.

Los conjuntos se representan con figuras geométricas y cada relación que se establece entre los elementos de los conjuntos se representa con una flecha.

Observa en los siguentes ejemplos, algunas funciones:

Recuerda que:

Una relación entre los elementos de dos conjuntos es función únicamente cuando a cada elemento del primer conjunto le corresponde un solo elemento del segundo conjunto.

En una función intervienen dos conjuntos, el primer conjunto que se llama dominio de la relación y se escribe D(f); el segundo conjunto que se llama codominio o rango y se escribe R(f).

Las funciones se pueden representar con cualquier letra minúscula, por ejemplo f, g, h, a, b, x, y, z, etc.

En el siguiente ejemplo, la relación entre los conjuntos M y L es una función y se puede expresar como en el gráfico siguiente.

Esto se lee: " f es una función del conjunto M en el conjunto L".

Existe otra forma de expresar la existencia de una función entre dos conjuntos; (observa el gráfico siguiente).

De estas formas de expresar la función utilizaremos la segunda y, de preferencia escribiremos con la letra minúscula f.

Igualmente, abreviaremos la forma de leer la expresión de una función asÍ: se lee " f es una función de M en L"